DP

我将通过几个我做过的dp题型，来全方面的重新介绍题意和重新介绍解法。以此来为DP最一份总结。过于简单的不予介绍，此总结只适合有基础的人。

因为我也没基础，所以需要有基础的人才能看懂

DP求最长方案与方案路径

P2196 [NOIP 1996 提高组] 挖地雷

题意：在一个 $ N\le20 $ 的图里面，可以从任意一点出发，只能移动到一个编号比当前节点大且联通的节点，求最长路径之节点之和与路径

解法：将问题给拆分出两个部分，一个部分是如何求出最长路径，第二部分是如何求出路径。

最长路径之和

由题意可知，一点出发，只会移动到一个比当前节点大且联通的一个节点。故而我们可以通过画图得知（图请脑补），一个节点的选择只有要么从 本节点开始,要么 从之前节点转移 所以轻易可得状态转移方程

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if(dist[j][i] && dp[i] < dp[j]+a[i] ){
           dp[i] = max(dp[i], dp[j]+a[i]);
}
记录路径

非常简单，我们可以另开一个函数，标明这个节点从哪里转移过来，而初始我们预处理成自己，而后递归求出

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void resolve(int res){
if(res==look_dist[res]){
    cout << res << ' ' ; 
    return ; 
}
resolve(look_dist[res]) ;
cout << res<< ' ' ; 

}
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for(int i = 1 ; i <= n ; i++)look_dist[i] = i;
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if(dist[j][i] && dp[i] < dp[j]+a[i] ){
            dp[i] = max(dp[i], dp[j]+a[i]);
            look_dist[i] = j  ;  
}

结束

拓扑排序

P4017 最大食物链计数

给你一张图，给你节点与有向边，不会出现环的情况，求路径数。

拓扑排序（Topological sorting）要解决的问题是如何给一个有向无环图的所有节点排序

特征：1.从入度为零的点开始。2.就是求路径数。3.出度为零的点的路径总数和就是答案。

首先，我们需要存图，然后将入度和出度数量进行记录。而后将入度为零的点作为起点 注意需要无环 然后压入队列中，进行方案数统计，并且重复之前步骤。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std ;
const int N = 5e3 + 10 ;
//a b , a代表被吃的动物 ， b 代表吃的动物 。 
//既然如此 ， a被b吃的意思就是正好有了一条路，可以被转移！
//5e3 2e7 不能采用现在想的规划，我的还没到最优
int dp[N] ;
const int mod = 80112002 ; 
int n , m ; int in[N] , out[N] ; //入度出度
vector<int>ad[N] ; 
queue<int> q ; //拓扑排序需要队列，根据先进先出的作用
int ans ; 
int num[N] ; //ans  
void solve(){
cin >> n >> m ; 
for(int i = 1 ; i<= m ; i++){
    int x , y; cin >> x >> y ; 
    ++in[y] ; ++out[x] ; //x 出去 , y 进来 
    ad[x].push_back(y); 
}
for(int i = 1 ; i<= n ; i++){
    if(!in[i]){
        num[i] = 1  ;
        q.push(i) ; //压入零出度的地方
    }
}
while(!q.empty()){
    int tot = q.front() ; 
    q.pop() ; 
    for(const auto & y : ad[tot]){
        --in[y] ; //入度减少，因为y点是路
        num[y] = (num[y]+ num[tot])% mod ; //入出 
        if(!in[y])q.push(y);//压入栈
    }
}
for(int i = 1 ; i<= n ; i++){
    if(!out[i])ans=(ans% mod+num[i]%mod)%mod ; 
}
cout << ans ; 
return ;
} 
int main(){
    int t = 1 ; 
    // cin >> t ;
    while(t--){
        solve()  ;
    }
return 0 ; 
}

最大字段和问题

给出一个长度为 n 的序列 a，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

例如 

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2 -4 3 -1 2 -4 3

可以注意到，这种就是两种状态要么选，要么不选。什么时候选，选了不如不选的情况。即

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dp[i] =max(dp[i-1]+ a[i] , a[i]) ;

结束